頻繁に使われるのに、とっても聞き取りにくいのがこのフレーズ。たとえ聞き取れても意味が解らないのです。
「私も」が的確な訳だと思いますが、否定表現に対して賛同するときに使います。
「私も〜しなかった」「私も〜ではない」のようなニュアンスです。
酷似した表現に “Me either.” があり、“Me neither.” は間違いだと言う人もいます。“neither” には否定の意味 （not＋either）があるので、相手の否定形と合わせると 二重否定になってしまうからだそうです。
ただ、アメリカではどちらも使われ、“Me neither.” の方が意味がクリアーなので、私はこちらをオススメします。
用例はこんな感じ： “I don't wanna stay here any longer.” “Me neither. Let's get out of here.” − 「こんな所にはもういたくない」「僕もさ。さあ、出よう」