“count” は、「計算する」ですが、「考慮する」「勘定に入れる」などの意味もあり、“on” をつけて “count on 〜” とすると、〜に依存する・頼るというニュアンスになります。
よく使われる表現を挙げると：
“Don't count on it.”（当てにしちゃダメ！）
“I'm counting on you.”（頼りにしているからね！）
“You can count on that!”（任せておいて！）
などがあります。
あと、後ろに “to” をつけて、例えば：
“I'm counting on you to pay.” （あなたが払ってくれるんでしょ？） とか、
“I'm counting on you to take care of that.” （あなたが面倒見てくれるんでしょ？）
のようにすれば、もう少し意味を明確に伝えられます。
同じく「頼る」を意味する “depend on” より、軽い感覚で使われます。